Az algebrai struktúrák vizsgálatában a kongruenciák központi szerepet játszanak.
Ebből a szempontból lényeges különbség van a félcsoportok és a fenti összehasonlításban
szereplő csoportok, illetve gyűrűk között. Amíg a csoportok, illetve gyűrűk
esetében kölcsönösen egyértelmű megfeleltetés van a kongruenciák és a csoportok
normális részcsoportjai, illetve a gyűrűk ideáljai között, addig a félcsoportok
esetében sokkal kedvezőtlenebb a helyzet. Ugyan egy félcsoport bizonyos
részstruktúrái, például az ideálok, vagy a reflexív unitér részfélcsoportok
meghatározzák az illető félcsoport egy-egy kongruenciáját, de a félcsoportok
esetében nincsenek olyan részstruktúrák, amelyek kölcsönösen egyértelmű módon
determinálnák egy félcsoport kongruenciáit. Többek között ez is oka annak, hogy
a csoportelméletben, illetve gyűrűelméletben eredményes konstrukciók közül nem
mindegyiket lehet hatásosan alkalmazni a félcsoportok vizsgálatában. Példaként
említhető a direkt szorzat. Így a félcsoportelméleti kutatások jellege is
megváltozott a kezdeti jelleghez képest. Olyan speciális konstrukciók jelentek
meg a kutatásokban, illetve a már meglévők közül olyanok kerültek előtérbe,
amelyek eredményesen használhatók a félcsoportok vizsgálatában. Ilyenek például
a félcsoportok különböző típusú köteg-felbontása, főleg a félháló-felbontás,
illetve a félcsoportoknak szubdirekt irreducibilis félcsoportok szubdirekt
szorzatára való felbontása. A jegyzetben több fejezetet szentelünk mind a
félháló-felbontásnak, mind a szubdirekt szorzatnak, ezen belül a szubdirekt irreducibilis
félcsoportoknak.